【C++】競程筆記（資料結構：Binary Tree）

程式碼範例參考：NTUCPC Guide，此筆記僅為個人學習用途。

簡介

樹（Tree）在電腦科學領域是一個由「節點」（Node）和「邊」所組成的圖形，如圖：

Image Source：https://www.geeksforgeeks.org/dsa/binary-tree-data-structure/

基本術語

• 節點（Node）：
  • 如 1、2、3、4 等這些數字被圓圈包起來的就是一個節點。
• 根節點（Root）：
  • 指的是最上層的節點，沒有父節點，如 1 就是根節點 Root。
• 子節點（Child）：
  • 位於某節點之下的直接後繼節點，如 1 底下的 2 跟 3 都是 1 的子節點；2 底下的 4 跟 5 都是 2 的子節點。
• 父節點（Parent）：
  • 反之，父節點為子節點的上層節點。1 是 2 跟 3 的父節點，2 是 4 跟 5 的父節點。
• 葉節點（Leaf）：
  • 沒有任何子節點的節點。如 8, 5, 9, 10 都沒有子節點，所以稱為葉節點。
• 深度（Depth）：
  • 根節點的深度定義為 0，子節點的深度等於其父節點深度＋1。如 2 的深度是 1，4 的深度是 2。
• 高度（Height）：
  • 從某節點到其最遠葉節點之最大邊數或節點數。整棵樹的高度即根節點的高度。如 1 的高度為 4（依節點看） 或 3（依邊數看）。
• 子樹（Subtree）：
  • 以某節點為根所構成的整個樹，如 6、9、10 成為一棵子樹。

二元樹類型

• 滿二元樹（Full Binary Tree）：
  • 每個非葉節點恰好有兩個子節點。
  • 
  • Image Source：https://www.geeksforgeeks.org/dsa/types-of-binary-tree/
• 完全二元樹（Complete Binary Tree）：
  • 除了最底層外，每一層的節點都達到最大數；最底層的節點集中在左側。
  • 
  • Image Source：https://www.geeksforgeeks.org/dsa/types-of-binary-tree/
• 完美二元樹（Perfect Binary Tree）：
  • 是一個滿二元樹，且所有葉節點深度相同；節點數 $= 2^{(h+1)} – 1$ ， $h$ 為高度。
  • 
  • Image Source：https://www.geeksforgeeks.org/dsa/types-of-binary-tree/
• 平衡二元樹（Balanced Binary Tree）：
  • 任一節點的兩個子樹高度差不超過 1。如：AVL 樹（Adelson‑Velsky and Landis Tree）、紅黑樹（Red‑Black Tree）。

n 元樹

n 元樹的意思就是每個節點至多有 n 個子節點。根據定義，一元樹也是一種樹，但是他其實跟陣列沒兩樣。通常這種樹會被稱作一個鏈（Chain）。
From NTUCPC Guide

Binary Search Tree（BST）

二元搜尋樹中的每個節點最多有兩個子節點，左子節點會比右子節點的值還小，當然反過來說，右子節點的值會比左子節點還大，如圖：

Image Source：https://www.geeksforgeeks.org/binary-search-tree-data-structure/

在 C++ 中存一棵 BST：

// from NTUCPC Guide
struct node {
    node *parent, *lson, *rson;
    int val;
    node(const int &data : parent(NULL), lson(NULL), rson(NULL), val(data)) {}
}

node：節點。

parent：父節點。

lson、rson：左子節點、右子節點。

val：節點值。

這裡的第五行冒號（:）為建構子初始化列表（Constructor Initialization List）的行為。

語法為：

類別名稱(參數) : 成員1(值1), 成員2(值2), ... {
    // 建構子主體
}

這種寫法等價於：

// ...
node(const int &data){
    parent = NULL;
    lson = NULL;
    rson = NULL;
    val = data;
}
// ...

但用 : 去寫會更有效率、簡潔一點。

一個指標通常需要占 8 個 bytes，所以用指標實作的東西都要花滿多的記憶體，在時間上常數也會比較大。
From NTUCPC Guide

插入一個元素

若要在 BST 中插入一個數字，需遵循以下規則：

1. 如果插入值比目前節點小，則往左子樹找插入位置。
2. 如果插入值比目前節點大，則往右子樹找插入位置。
3. 若目前節點為 NULL，表示找到插入點，則創建新節點。

// From NTUCPC Guide
// Comment by LukeTseng
void Insert(node *&x, int val) {
    // 空節點處理
    if (!x) { // 若 x 是空指標，表示可放新節點
        x = new node(val); // 建立新節點，並使 x 指向它
        return x->parent = NULL, void(); // 將父節點設定為 NULL
    }
    // 插入左子樹
    if (x->val > val) { // 若插入值小於目前節點，往左子節點遞迴
        if (x->lson) Insert(x->lson, val); // 如果左子節點已存在，直接遞迴
        // 否則新增新節點作為左子節點，並設定其 parent 為目前節點
        else x->lson = new node(val), x->lson->parent = x;
    }
    // 插入右子樹
    if (x->val < val) { // 反之，邏輯基本上與插入左子樹操作相同
        if (x->rson) Insert(x->rson, val);
        else x->rson = new node(val), x->rson->parent = x;
    }
}

在此程式中沒有處理到相等的情況，代表會不允許重複的元素插入。

建立二元搜尋樹

若有 $n$ 個數字 $[a_1, a_2, \cdots , a_n]$ ，設定 $a_1$ 為 Root，再對其他數字依序插入。

Inorder Traversal

二元搜尋樹的特性：左子樹比右子樹小。

中序遍歷（Inorder Traversal）先走左子樹，再走右子樹，即可輸出一個由小到大的序列。

:::info
中序遍歷走訪順序：
左子樹 → 根節點 → 右子樹
:::

// From NTUCPC Guide
// Comment by LukeTseng
void travel(node *x) {
    if (!x)  return; // 檢查目前節點是否為空
    travel(x->lson); // 走訪左子樹
    printf("%d ",x->val); // 印出目前節點值
    travel(x->rson); // 走訪右子樹
}

查詢節點

假設要搜尋一值 $x$，目前所在節點值為 $y$。

若 $x < y$ ，往左走；反之， $x > y$ 就往右走。

// NTUCPC Guide
// Comment by LukeTseng
node *Find(node *x, int val) {
    if (!x) return NULL; // 若目前節點是空指標（如走到葉節點的子節點），代表樹不存在目標值
    if (x->val == val) return x; // 找到了
    if (x->val > val) return Find(x->lson, val); // 目標值比目前節點值小，往左走
    return Find(x->rson, val); // 表示前面三個條件不成立，那就是要往右了
}

刪除節點

要刪除節點時有三種情形：

1. 葉節點直接刪。
2. 其中一個子節點為空，則將其拉上來。如下圖，4 連到 7。
   • 
   • From NTUCPC Guide
3. 找中序後繼（inorder successor）或前驅來取代被刪除節點。（用另一個「替代節點」的值來取代 x 的值，再刪除那個替代節點）

:::info
中序前驅（in-order predecessor）：

• x->lson 中的最大節點（也就是 x->lson 子樹最右邊的節點）
• 該值 < x->val，是小於 x 的最大值
  :::

:::info
中序後繼（in-order successor）：

• x->rson 中的最小節點（也就是 x->rson 子樹最左邊的節點）
• 該值 > x->val，是大於 x 的最小值
  :::

// From NTUCPC Guide
// Comment by LukeTseng
bool Delete(node *&root, node *x) {
    if (!x) return false;
    // 葉節點
    if (!x->lson && !x->rson) {
        if (x->parent) { // 若有父節點，從其父節點的左或右子樹中移除 x。
            if (x->parent->val > x->val) x->parent->lson = NULL;
            else x->parent->rson = NULL;
        }
        delete x;
    }
    else if (!x->lson) { // 僅有右子樹
        if (x->parent) { // 這部分邏輯同屬刪除葉節點的方式，但不同的點是會直接連到 x-> rson
            if (x->parent->val > x->val) x->parent->lson = x->rson;
            else x->parent->rson = x->rson;
        } 
        else root = x->rson;
        x->rson->parent = x->parent;
        delete x;
    }
    else if (!x->rson) { // 僅有左子樹
        if (x->parent) { // 邏輯同僅有右子樹的情形
            if (x->parent->val > x->val) x->parent->lson = x->lson;
            else x->parent->rson = x->lson;
        } 
        else root = x->lson;
        x->lson->parent = x->parent;
        delete x;
    }
    else { // 有左右兩棵子樹
        node *exchange = x->lson;
        while (exchange->rson) exchange = exchange->rson;
        x->val = exchange->val; // copy the data
        Delete(root, exchange);
    }
    return true;
}

刪除一個值

// From NTUCPC Guide
bool Delete_Val(node *&root, int val) {
    return Delete(root, Find(root, val));
}

複雜度分析

設 BST 含有 $n$ 個節點， $h$ 為樹的高度。則：

操作	最佳情況	平均情況	最差情況
搜尋 Search	平衡樹	大致平衡	退化為鏈結串列
插入 Insert	平衡樹	大致平衡	退化為鏈結串列
刪除 Delete	平衡樹	大致平衡	退化為鏈結串列
最小/最大查詢	$O(log n)$	$O(log n)$	$O(n)$
中序走訪 Traversal	$O(n)$	$O(n)$	$O(n)$

當插入的資料為已排序的序列時，BST 不再分叉，整棵樹會變成單一路徑，因此樹會不平衡，退化成一個鏈結串列，高度會變成 $h = n$ ，效率變差，直接變成 $O(n)$ 。

然後二元搜尋樹是要去平衡的，有些測資如習題練習第一題，還蠻大的，沒去好好平衡的話，時間複雜度甚至會到 $O(n^2)$ 。

習題練習

二元搜尋樹 (TRVBST)

Source：https://tioj.ck.tp.edu.tw/problems/1609

問中序遍歷結果。

TLE 解（手刻實作二元搜尋樹，且未平衡）：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

struct Node {
    int val;
    Node *left, *right;
    Node(int v) : val(v), left(nullptr), right(nullptr) {}
};

void insert(Node*& root, int val) {
    if (root == nullptr) {
        root = new Node(val);
        return;
    }
    if (val < root->val) insert(root->left, val);
    else insert(root->right, val);
}

void inorder(Node* root, vector<int>& result) {
    if (!root) return;
    inorder(root->left, result);
    result.push_back(root->val);
    inorder(root->right, result);
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    int n;
    cin >> n;

    Node* root = nullptr;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        int val;
        cin >> val;
        insert(root, val);
    }

    vector<int> output;
    output.reserve(n);
    inorder(root, output);

    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        if (i > 0) cout << ' ';
        cout << output[i];
    }

    return 0;
}

AC 解（內建函式 sort() 大法）：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    int n;
    cin >> n;

    vector<int> values(n);
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        cin >> values[i];
    }

    sort(values.begin(), values.end());

    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        if (i > 0) cout << ' ';
        cout << values[i];
    }

    return 0;
}

1d-kd-tree

Source：https://tioj.sprout.tw/problems/46

查詢操作是比較難的（查詢一個點，問距離哪一個點的距離最短），但可以用二元搜尋樹找 predecessor（不大於 x 的最大點） 跟 successor（大於 x 的最小點），並比較這些點與 x 的距離。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    
    int N;
    cin >> N;
    set<long long> points;
    
    while (N--) {
        string op;
        long long x;
        cin >> op >> x;
        
        if (op == "insert") {
            points.insert(x);
        } else if (op == "delete") {
            points.erase(x);
        } else if (op == "query") {
            auto it = points.upper_bound(x);
            long long dist1 = LLONG_MAX, dist2 = LLONG_MAX;
            long long ans1 = LLONG_MAX, ans2 = LLONG_MAX;
            
            if (it != points.end()) { // > x 的最小值
                dist2 = *it - x; // 右側距離
                ans2 = *it; // 候選數值
            }
            
            if (it != points.begin()) { // <= x 的最大值
                --it;
                dist1 = x - *it;
                ans1 = *it;
            }
            
            if (dist1 < dist2) { // 表示左側近，輸出左側元素
                cout << ans1 << '\n';
            } else if (dist2 < dist1) { // 表示右側近，輸出右側元素
                cout << ans2 << '\n';
            } else if (dist1 == dist2 && dist1 != LLONG_MAX) {
                cout << min(ans1, ans2) << ' ' << max(ans1, ans2) << '\n';
            }
        }
    }
    
    return 0;
}